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Historia del concepto de función

 

Si tratáramos hoy de contestar a la difícil pregunta '¿qué son las matemáticas?' muchas veces respondemos algo como 'El estudio de las relaciones entre conjuntos' o 'El estudio de las dependencias entre cantidades variables'. Si estas afirmaciones son cercanas a la verdad entonces sería lógico sugerir que el concepto de función debe haber aparecido desde las primeras etapas del desarrollo de las matemáticas. Ciertamente, si vemos las matemáticas babilónicas encontramos tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N sobre N o de N sobre R. E. T. Bell escribió en 1945:

Puede no ser demasiado generoso dar crédito a los antiguos babilonios de tener el instinto de función; ya que una función ha sido definida sucesivamente como una tabla o como una correspondencia.
Sin embargo esto seguramente viene de ver a los antiguos matemáticos a través de ojos modernos. Por lo tanto tenemos que rechazar la sugerencia de que el concepto de función estuviera presente en las matemáticas babilónicas aunque podamos ver que estudiaban funciones específicas.

Si avanzamos hasta las matemáticas griegas entonces llegamos al trabajo de Ptolomeo. Él computó cuerdas de un círculo lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas. Seguramente, uno podría pensar, que si estaba calculando funciones trigonométricas entonces Ptolomeo debe haber comprendido el concepto de función. Como escribió O Petersen en 1974:
Pero si concebimos una función no como una fórmula sino como una relación más general que asocia elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto, es obvio que las funciones en ese sentido abundan en el Almagesto.
Sin duda Petersen está en lo correcto al afirmar que hay funciones, en el sentido moderno, por todo el Almagesto. Ptolomeo lidió con las funciones pero es poco probable que comprendiera el concepto de función. Como escribe Thiele en la primera página de A history of analysis :
De vez en cuando, comparaciones anacrónicas como la que se acaba de dar nos ayudan a elucidar hechos documentados pero no a interpretar su historia.
Habiendo sugerido que el concepto de función estaba ausente en estas antiguas obras matemáticas, permítanos sugerir, como lo hace Youschkevitch en The concept of function up to the middle of the 19th century, que Oresme se estaba acercando en 1350 cuando describió las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra. Youschkevich escribe en The concept of function up to the middle of the 19th century:
La noción de una función aparece por primera vez en una forma más general durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París.
Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. De nuevo otra parte de sus matemáticas muestra que estaba empezando a captar el concepto de mapeo entre conjuntos. En 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, el círculo mas grande A con diámetro del doble que el círculo más pequeño B. Pero al tomar cualquier punto P sobre el círculo A entonces PA corta al círculo B en un punto. Así Galileo había construido una función que mapeaba cada punto de A sobre un punto de B. De modo similar, si Q es un punto sobre B entonces el segmento OQ resultante corta al círculo A en exactamente un punto. De nuevo tiene una función, esta vez de los puntos en B hacia los puntos en A. Aunque la circunferencia de A sea el doble de la circunferencia de B, ambas tienen el mismo número de puntos. También produjo la correspondencia uno-a-uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados, la cual (en términos modernos) daba una bisección entre N y un subconjunto propio.

Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Descartes introducía el álgebra a la geometría en La Géometrie (La geometría). Afirma que una curva puede dibujarse al permitir que un línea tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función a la construcción de una curva ya que Descartes está pensando en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos valores como en que la magnitud a partir de la cual se compone la expresión, toma un infinito número de valores

Detengámonos por un momento antes de llegar a la primera vez que se usó la palabra 'función'. Es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también fue siendo definido con mayor precisión a través de los años. Ya hemos sugerido que una tabla de valores, aunque defina una función, no es pensada necesariamente por su creador como una función. Los primeros empleos de la palabra 'función' sí encapsulaban ideas del concepto moderno pero de manera mucho más restrictiva.

Como tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no-matemático. Leibniz escribió en agosto de 1673 de:
[...] otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función.
Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz escrita el 2 de septiembre de 1694, describe una función como:
[...] una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes.
En un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos, Johann Bernoulli escribe sobre 'funciones de ordenadas'. Leibniz le escribió a Bernoulli diciendo:
[...] Me agrada que use el termino función en el mismo sentido que yo.
Era un concepto cuya introducción sucedió en el momento ideal en lo que respecta a Johann Bernoulli ya que estaba estudiando problemas de cálculo de variaciones en cuyas soluciones aparecen funciones.

Se puede decir que en 1748 el concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Esto se debió a Euler quien publicó Introductio in analysin infinitorum en el año en que hace central el concepto de función en su presentación del análisis. Euler definió una función en el libro como sigue:
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.
Todo esto está muy bien pero Euler no da una definición de 'expresión analítica' sino que supone que el lector entenderá que significa expresiones formadas por las operaciones comunes de suma, multiplicación, potencias, raíces, etc. Divide sus funciones en distintos tipos tales como algebraicas y trascendentes. El tipo depende de la naturaleza de la expresión analítica; por ejemplo, las funciones trascendentes son las no-algebraicas como:
[...] exponeciales, logaritmos y otras de las que el cálculo integral nos provee en abundancia.
Euler permitió que las operaciones algebraicas de sus expresiones analíticas aparecieran un número infinito de veces, dando como resultado series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas infinitas. Más adelante sugiere que una función trascendente debe ser estudiada expandiéndola en una serie de potencias. No afirma que todas las funciones trascendentes puedan ser expandidas de este modo pero sí que se debe probar en cada caso específico. Sin embargo, había una dificultad en el trabajo de Euler que generaría confusión ya que no logró distinguir entre una función y su representación. No obstante, Introductio in analysin infinitorum cambiaría la manera en que los matemáticos piensan sobre conceptos familiares. Jahnke escribe en A history of analysis :
Hasta Euler las cantidades trigonométricas seno, coseno, tangente, etc. se consideraban como líneas relacionadas con el círculo más que como funciones. [...] Fue Euler quien introdujo el acercamiento funcional.
El concepto de función había llevado a Euler a hacer muchos descubrimientos importantes antes de que escribiera Introductio in analysin infinitorum. Por ejemplo, había llegado a definir la función gamma y a resolver el problema que había derrotado a los matemáticos durante mucho tiempo: la suma de la serie
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ...
Demostró que la suma da π2/6 y publicó el resultado en 1740.

Regresemos a los contenidos de Introductio in analysin infinitorum. Allí Euler presenta las funciones continuas, discontinuas y mixtas pero ya que solo los primeros dos de estos conceptos tienen significados modernos distintos, llamaremos las versiones de Euler E-continuas y E-discontinuas para evitar confusiones. Una función E-continua era aquella que se expresaba mediante una única expresión analítica, una función mixta se expresaba en términos de dos o más expresiones analíticas y una función E-discontinua incluía funciones mixtas pero era un concepto más general. Euler no indicó claramente qué quería decir por una función E-discontinua aunque es obvio que las consideraba más generales que las mixtas. Más adelante las definió como aquellas funciones que tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus gráficas (de modo más bien confuso, son esencialmente lo que llamamos hoy funciones continuas).

En 1746 d'Alembert publicó una solución al problema de una cuerda tensa que vibra. La solución, por supuesto, depende de la forma inicial de la cuerda y d'Alembert insistió en su solución en que la función que describe las velocidades iniciales de cada punto de la cuerda tenía que ser E-continua, es decir, expresada mediante una sola expresión analítica. Euler publicó un artículo en 1749 en el que objetaba la restricción impuesta por d'Alembert, afirmando que, por razones físicas, expresiones más generales para la forma inicial tenían que permitirse. Youschkevitch escribe The concept of function up to the middle of the 19th century:
d'Alembert no estaba de acuerdo con Euler. Así empezó la larga controversia sobre la naturaleza de las funciones que se permitían como condiciones iniciales y en las integrales de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales continuaba apareciendo en cantidades cada vez mayores en la teoría de la elasticidad, la hidrodinámica, la aerodinámica y la geometría diferencial.
En 1755 Euler publicó otro libro muy importante, Institutiones calculi differentialis. En este libro definió una función de manera totalmente general, dando lo que podemos razonablemente afirmar que era una definición verdaderamente moderna de función:
Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas. Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x.
Esto podría haber sido un gran logro pero, después de dar esta amplia definición, Euler dedicó el libro al desarrollo del cálculo diferencial usando solamente funciones analíticas. El primer problema con la definición de Euler de tipos de funciones fue señalada en 1780 cuando se demostró que una función mixta, dada por distintas fórmulas, a veces podía darse mediante una sola fórmula. El ejemplo más claro de una función así fue dado por Cauchy en 1844 cuando notó que la función
y = x para x≥0, y = -x para x < 0
podía expresarse mediante la fórmula y = √(x²). Por lo tanto dividir las funciones en E-continuas y mixtas no tenía sentido. Sin embargo, una objeción más seria vino del trabajo de Fourier quien afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado. Fourier demostró que algunas funciones discontinuas podían representarse por lo que hoy llamamos una serie de Fourier. La diferencia entre funciones E-continuas y funciones E-discontinuas, por ende, no existía. El trabajo de Fourier no fue aceptado de inmediato y matemáticos prominentes como Lagrange no lo aceptaron en ese momento. Luzin señala en que la confusión respecto a las funciones se había debido a una falta de comprensión de la diferencia entre 'función' y su representación; por ejemplo como una serie de senos y cosenos. EL trabajo de Fourier llevaría finalmente a clarificar el concepto de función cuando, en 1829, Dirichlet demostró algunos resultados concernientes a la convergencia de las series de Fourier, y aclarando así la diferencia entre una función y su representación.

Otros matemáticos dieron sus propias versiones de la definición de función. Condorcet parece haber sido el primero en retomar la definición general de Euler de 1755. En 1778 Condorcet envío las primeras dos partes de un trabajo de cinco, Traité du calcul integral a la Academia de París. Nunca fue publicado pero muchos de los principales matemáticos franceses lo vieron. En esta obra, Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.

Lacroix, quien había leído el trabajo inconcluso de Condorcet, escribió en 1797:
Cada cantidad cuyo valor depende de una o más cantidades se llama una función de éstas últimas, se conozca o no qué operación es necesario usar para llegar de la última a la primera.
Cauchy, en 1821, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función. Escribió en Cours d'analyse:
Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.
Nótese que a pesar de la generalidad de la definición de Cauchy, que está diseñada para cubrir tanto las funciones implícitas como las explícitas, aún piensa en una función en términos de una fórmula. De hecho, hace la distinción entre funciones implícitas y explícitas justo después de dar esta definición. También introduce conceptos que indican que todavía peinsa en términos de expresiones analíticas.

Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:
En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola.
Está claro que Fourier ha dado una definición que se aleja deliberadamente de las expresiones analíticas. Sin embargo, y a pesar de ello, cuando empieza a demostrar teoremas sobre expresar una función arbitraria como serie de Fourier, ¡entonces usa el hecho de que su función es continua en el sentido moderno!

Dirichlet, en 1837, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional.

En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua:
Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.
Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de Lobachervsky. Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función:
Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercder la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.
Alrededor de esa época se construyeron muchas funciones patológicas. Cauchy dio un ejemplo temprano cuando notó que ƒ(x) = exp(-1/x²) para x≠0, ƒ(0) = 0, es una función continua cuyas derivadas en 0 son todas 0. Por lo tanto, tiene una serie de Taylor que converge en todos los puntos pero que solo es igual a la función en 0. En 1876 Paul du Bois-Reymond hizo la distinción entre una función cuya serie de Fourier diverge en un punto. En esta línea se avanzó en 1885 cuando Weierstrass demostró que cualquier función continua es el límite de una secuencia de polinomios que converge uniformente. Anteriormente, en 1872, Weierstrass había enviado un artículo a la Academia de Ciencias de Berlín dando un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en ningún punto. Lützen escribe en A history of analysis:
La función de Weierstrass contradecía la idea intuitiva de la mayor parte de sus contemporáneas que apuntaba a que las funciones contúnuas eran differenciables excepto en 'puntos especiales'. Fue una sensación y, de acuerdo con Hankel, incredulidad cuando du Bois-Reymond la publicó en 1875.
Poincaré estaba a disgusto con la dirección que había tomado la definición de función. En 1899 escribió:
Durante medio siblo hemos visto una masa de funciones extrañas que parecen forzadas a parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. [...] Antes, cuando se inventaba una nueva función era con una meta práctica. Hoy son inventadas a propósito para mostrar que el razonamiento de nuestros ancestros fallaba y nunca obtendremos más que eso de ellas. Si la lógica fuera la única guía del profesor, tendría que empezar por lo más general, es decir, las funciones más estrambóticas.
¿De dónde han tomado el concepto las definiciones más modernas? Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día:
Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x).
En caso de que ésta no sea lo suficientemente precisa y que involucra conceptos como 'valor' y 'correspondencia', véase la definición dada por Patrick Suples en 1960:
Definición. A es una relación ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ (∃y)(∃z)(x = (y,z)). Se escribe y A z si (y,z) ∈ A.
Definición. ƒ es una función⇔ ƒ es una relación y (∀x) (∀y) (∀z)(x ƒ y y x ƒ z ⇒ y = z).
¿Qué hubiera pensado Poincaré de la definición de Suples?