Funciones exponenciales y logaritmicas

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) de manera independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo  mayor influencia, era un lord escocés, de carácter muy reservado cuyos vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de las funciones exponenciales. La tablas de Napier, publicadas en 1614, contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry  Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica. Un efecto colateral de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del sistema decimal  para los números reales.

JOHN NAPIER

Nació en 1550 en  Marchiston Castle, Edimburgo (Escocia) en el seno de una rica e importante familia, siendo el primer hijo de Archibald Napier que a la sazón contaba dieciséis años (¡qué jóvenes se casaban entonces!). Es curioso que su apellido aparece escrito de varias formas diferentes: Napeir,Nepair, Nepeir, Neper, Napare, Naper, Naipper, aunque la que más veces aparece es Jhon Neper, pero nunca de la forma como hoy se le conoce Napier.

Napier fue educado en la universidad de St. Andrews a la que llegó a la edad de trece años y pronto se apasionó con el estudio de la teología, aunque no se graduó en dicha universidad ya que completó sus estudios en Europa, y muy probablemente sus conocimientos sobre las matemáticas los haya adquirido entonces.

En 1571 regresó a Escocia y en 1574 se instaló con su esposa en el castillo de Gartness propiedad de su familia. Se dedicó al cuidado de sus propiedades con mucho empeño y aplicando sus conocimientos científicos a la agricultura llegando a ser un brillante inventor. Napier también tomó partido en las controversias religiosas de su tiempo y fue un ferviente protestante, publicando lo que él consideraba su obra más importante: Plaine Discovery of de Whole Revelation of St. Jhon en la que prevenía  del peligro que suponían los papistas y que fue traducido a otros idiomas. 

Los estudios de matemáticas  fueron solo un hobby para Napier (¿por qué en España los ricos y nobles no han tenido nunca estos hobbys?)  y a menudo se quejaba de no disponer de tiempo para ellos. Sin embargo, es hoy muy conocido por ser el inventor de los logaritmos pero también hizo otras importantes contribuciones como sus fórmulas para la resolución de triángulos esféricos, dos fórmulas conocidas como las analogías de Napier y una invención llamada "los  huesos de Napier" usado para el cálculo de multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y cúbicas. También encontró expresiones exponenciales para funciones trigonométricas e introdujo la notación decimal para las fracciones. Sus tablas de logaritmos fueron publicadas en la obra titulada Mirifici logarithmorum canonis descriptio en el año de 1614, inicialmente escrito en latín pero enseguida traducido por Edward Wright. Según nuestra notación de hoy, los logaritmos de Napier serían los logaritmos de base 1/e. Napier no pensaba en los logaritmos como entes algebraícos, ya que en su tiempo el álgebra no estaba suficientemente desarrollada. El mayor inconveniente de los logaritmos de Napier fue que el log1 no era cero. El cambio a los logaritmos con la propiedad log1=0 surgió de las discusiones entre Briggs y Napier en la casa de este último. Briggs en una carta enviada antes de su encuentro también le había sugerido que las tablas de logaritmos deberían ser en base  diez y le comunicaba que había empezado a construir esa nueva tabla.

Sería sorprendente que un hombre de tan grandioso intelecto como Napier no les pareciese extraño a sus contemporáneos y, que habiendo vivido en una época  tan supersticiosa no circularan historias raras sobre   sus supuestos poderes mágicos. Dicha fama fue aprovechada por Napier en la siguiente anécdota que muestra su ingenio. Un día, en su casa se cometió un robo. Según los indicios no podía ser más que uno de sus criados. En secreto, Napier rascó hollín de la chimenea. Encerró a un  gallo, según dijo mágico, en una habitación oscura tras haberlo untado con el hollín. Reunidos los criados, les dijo que tendrían que entrar en la habitación uno después del otro y acariciar al gallo. Cuando el ladrón tocase al ave , ésta se pondría a cantar. El gallo no cantó ni una sola vez, pero al mirarles las manos todos las tenían negras salvo uno ¡ése era el ladrón! . Hoy día Napier es recordado por haber hecho  contribuciones  al desarrollo de la ciencia   que resultaron imprescindibles  para la formulación de las teorías de Kepler y Newton.

JOOST BÜRGI

Nació el 28 de febrero de 1552 en Lichtensteig (Suiza) y murió el 31 de junio de 1632 en Hesse-Kassel (hoy Alemania).

Joost Bürgi fué el más hábil y más famoso, relojero de su tiempo. También construyó importantes instrumentos científicos sobre todo para el Landgraf de Hesse-Kassel que estaba interesado  en la astronomía.

Posteriormente trabajó para el emperador Rodolfo II y su sucesor Matías (en Praga). Bürgi tenía un gran interés por las matemáticas (otro con el mismo hobby que Napier) y sus contribuciones a esta ciencia fueron importantes ya que como reconoció Johannes Kepler, entonces Matemático Imperial, su introducción al álgebra había sido inspirada por los trabajos de Bürgi. Precisamente Kepler, fue el que le sugirió que escribiera su original e interesante trabajo sobre los logaritmos, publicado en 1620. El método de los logaritmos de Bürgi es completamente diferente al  de Napier y  ambos los descubrieron por caminos completamente independientes.