Información obtenida del libro Matemáticas B 4, Algaida Editores S.A.
La Recta
Función lineal o de proporcionalidad directa
Una función es lineal o de proporcionalidad directa si al multiplicar la variable independiente X por un número, la variable dependiente Y queda multiplicada por dicho número.
La ecuación de una función de proporcionalidad directa es:
y = mx con m ≠ 0
Donde m es la pendiente de la recta que coincide con la constante de proporcionalidad directa.
Constante de proporcionalidad directa = pendiente =m
Si la pendiente es positiva (m > 0) la recta es creciente.
Si la pendiente es negativa (m < 0) la recta es decreciente.
Para dibujar una función lineal y = mx, se tiene en cuenta que su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas O (0, 0). Para poder dibujarla solo se necesita otro punto P.
Un punto cómodo es el que toma la función para el valor x = 1, que será (1, m). Si m es fraccionario, se debe tomar como x el denominador de la fracción. Uniendo los puntos O y P se obtiene la recta.
Para su paso de la tabla o gráfica a la ecuación, para hallar m se tiene en cuenta que despejando m de y = mx se obtiene:
m = y / x
Luego m es el cociente de cualquier valor de y dividido entre el valor correspondiente de x, siempre que x ≠ 0. El mejor punto es el primero en el que la abscisa sea positiva y entera, y la ordenada sea entera.
Función afín
Una función es afín si su ecuación es del tipo:
y = mx + b (siendo m y b números reales, m ≠ 0, b ≠ 0)
Su representación gráfica es una recta que tiene de pendiente m y pasa por el punto P (0,b). A b se le llama el valor de la ordenada en el origen.
La gráfica de la función afín se obtiene al hacer una traslación vertical de b unidades de la recta correspondiente a la función lineal.
Para dibujar la gráfica de una función afín de forma cómoda, se hace una tabla con los valores de x = 0 y x = 1. Si la pendiente es un número fraccionario, se debe tomar como segundo valor de x el denominador de la pendiente, y así se hacen los cálculos fácilmente.
Se puede generar una tabla de valores para una función afín utilizando el sumando constante de la calculadora.
Para hallar la recta que pasa por dos puntos, A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), se sigue el procedimiento:
a) Se halla la pendiente de la recta aplicando la formula:
m = (y₂ – y₁) / (x₂ - x₁)
b) Con el valor de la pendiente, se halla el valor de b sustituyendo en la fórmula y = mx +b las coordenadas de uno de los puntos.
Para hallar la ecuación de una recta a partir de su gráfica, se utiliza la ecuación y = mx + b, donde m es la pendiente, y b es la ordenada en el origen.
Rectas horizontales y verticales:
a) La ecuación de una recta horizontal es:
y = k (siendo k la ordenada del punto en el que la recta corta al eje Y)
Corresponde a una función constante, porque para cualquier valor de la variable independiente, x, la variable dependiente, y, es siempre la misma.
En particular, la ecuación del eje de abscisas X es y = 0
b) La ecuación de una recta vertical es:
x = k (siendo k la abscisa del punto en el que la recta corta en el eje X)
No es una función, porque para el valor de x = k existen infinitos valores de y.
En particular, la ecuación del eje de ordenadas Y es x = 0
El Tiro Parabólico y un ejemplo
La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.
Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.
Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.
OBJETIVO:
Diferenciar el movimiento en dos dimensiones en el lanzamiento horizontal y en el tiro con ángulo.
Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo desalida.
LANZAMIENTO CON ÁNGULO
La velocidad inicial del proyectil(Vo) tiene dos componentes (Vx y Voy) que se calculan con Vx = VoCosq y Voy = VoSenq.
Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos componentes (Vx y Vy). La posición también tiene las dos coordenadas (X, Y)
COMPONENTE VERTICAL
Verticalmente el movimiento es uniformemente acelerado. La única fuerza que actúa sobre el proyectil es la gravedad, por lo que la aceleración es g.
Para cualquier instante del movimiento la velocidad vertical (Vy) debe calcularse como si fuera lanzamiento vertical
COMPONENTE HORIZONTAL
Horizontalmente la velocidad es constante Vx = VoCosq y debe calcularse como si fuera movimiento rectilíneo uniforme.
Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de salida.
Al aumentar el ángulo, el alcance horizontal “X”, la altura máxima y el tiempo aumentan.
El alcance máximo se logra con el ángulo de 45°, Con el incremento del ángulo, aumenta la altura máxima y el tiempo.
Con ángulos mayores que 45° el alcance disminuye, pero la altura máxima y el tiempo siguen aumentando.
Incrementado mas el ángulo, el alcance sigue disminuyendo y la altura máxima y el tiempo continúan incrementándose.
Función cuadrática
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado y = ax^2+bx+c, siendo a, b y c números reales y a es distinto de 0. Su representación grafica es una parábola, que tiene las siguientes características :
a)Tiene un eje de simetría cuya formula es :
x = – b/2a
b)Corta el eje X en dos puntos , uno o ninguno, según el número de raíces de ax^2 +bx+c=0, y corta al eje Y en el punto(0,c)
c)El vértice es un mínimo si a >0 y un máximo si a <0; por una parte del eje es creciente y por la otra decreciente.
d)Es cóncava si a > 0 y convexa si a < 0.
e)Al aumentar a en valor absoluto, se hace más estrecha.
TRASLACIÓN VERTICAL y = ax^2 + c
La parábola y=a x ^ 2 + c es una traslación vertical de c unidades de la parábola y=a x ^2 .
Si c >0, la traslación es hacia arriba.
Si c <0, la traslación es hacia abajo.
TRASLACIÓN HORIZONTAL y= a (x-p)^2
La parábola y=a(x-p)^2 es una traslación horizontal de p unidades de la parábola y=a x ^2
- El eje de simetría es la recta x=p
- El vértice es el punto V(p ,0)
TRASLACIÓN HORIZONTAL Y VERTICAL y= a(x-p)^2 + p
La parábola y=a(x-p)^2 + k es una traslación horizontal de p unidades de la parábola y=a x ^2 y una traslación vertical de k unidades, viceversa.
- El eje de simetría es la recta x=p
- El vértice es el punto V(p ,k)
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Una función es de proporcionalidad inversa si al multiplicar la variable independiente x por un número, la variable dependiente y queda dividida por dicho número. Su ecuación es:
y=k/x (k es la constante de proporcionalidad inversa)
Su representación gráfica es una hipérbola que es discontinua para x=0,tiene como asíntotas los ejes, y es simétrica respecto del origen de coordenadas O(0,0)
La constante de proporcionalidad k es el área del rectángulo que tiene como vértices opuestos un `punto cualquiera P (x, y)de la hipérbola y el punto de corte de las asíntotas.
a)Si k >0,la hipérbola está en el primer y el tercer cuadrantes y es decreciente.
b)Si k <0,la hipérbola está en el segundo y cuarto cuadrantes y es creciente.
PASO DE GRÁFICA A ECUACIÓN
En la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, k es el área del rectángulo cuyos vértices opuestos son un punto cualquiera P(x, y) de la hipérbola y el punto de corte de las asíntotas .La constante k es positiva si la hipérbola es decreciente, y es negativa si la hipérbola es creciente.
HIPÉRBOLA EN GENERAL
Las hipérbolas son las gráficas de las funciones racionales cuyo denominador es un polinomio de 1º grado.
PASO DE HIPÉRBOLA GENERAL A ECUACIÓN
La ecuación que se busca es de la forma:
y=(k/x-s)+r
Para hallarla se tiene en cuenta:
a)k es el área del rectángulo formando entre un punto cualquiera P(x, y)de la hipérbola y el punto de corte de las asíntotas. La constante k es positiva si la hipérbola es decreciente, y es negativa si la hipérbola es creciente.
b)Para hallar r y s se hallan las ecuaciones de las asíntotas, y=r , x=s.
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